Calendario
| Martes | Miércoles | Jueves | Viernes |
|---|---|---|---|
| 27 de octubre Unidad 2: Proporcionalidad y porcentaje. Índice 1. Magnitudes | |||
| 31 de octubre LECTURA Halloween | 2 de noviembre Regla de 3 | 3 de noviembre Repaso regla de 3 | |
| 7 de noviembre Lectura: Pitágoras y los números | 8 de noviembre Proporcionalidad compuesta | 9 de noviembre Repartos directos | 10 de noviembre Repartos inversos |
| 14 de noviembre Lectura: Ficha + Tarjetas proporcionalidad | 15 de noviembre Porcentajes | 16 de noviembre | 17 de noviembre Porcentajes |
| 21 de noviembre Lectura: | 22 de noviembre Interés | 23 de noviembre Pre-examen | 24 de noviembre Examen |
Índice
- Magnitudes
- Regla de 3
- Proporcionalidad compuesta
- Repartos
- Porcentajes
- Interés
1. Magnitudes
Ejercicio 1: Indica qué relación existe entre las siguientes magnitudes
a) A: Kilos de patatas que compro – B: el precio que me cobran.
b) A: Número de obreros – B: el tiempo que tardan en hacer una obra.
c) A: Número de botes de mermelada – B: el precio que pago por ellos.
d) A: Número de personas en un autobús – B: Tiempo que tarda el autobús en hacer el recorrido.
e) A: Número de saltos de un canguro – B: metros que avanza.
f) A: Número de perros – B: número de días que les dura una bolsa de pienso
g) A: Número de pantalones – B: precio que pago por ellos.
h) A: Litros de gasolina que consume un coche – B: kilómetros que recorre.
i) A: Número de páginas de un libro – B:Número de personas a las que recomiendo el libro.
j) A: Velocidad de un coche – B: tiempo que tarda en llegar a su destino.
k) A: Litros de agua que sale de un grifo – B: tiempo que está abierto el grifo.
l) A: Litros por segundo que arroja un grifo – B: tiempo que tarda en llenarse un depósito.
2. Regla de 3
La regla de 3 es un procedimiento para resolver problemas de proporcionalidad en los que intervienen dos magnitudes directamente o inversamente proporcionales.
Regla de 3 directa
Regla de 3 inversa
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Ejercicio 2: Resuelve con la regla de 3 directa
a) Por la impresión de 120 tarjetas nos han cobrado 50 euros. ¿Cuánto nos costará imprimir 330 tarjetas?
b) Fabio ha dedicado 7 horas a ayudar a su padre, que le ha dado 42 euros como recompensa. ¿Cuánto le habría dado por 12 horas?
c) Treinta y cinco ordenadores cuestan 42000 euros. ¿Cuánto valen 40 ordenadores?
d) Un corredor da 5 vueltas a una pista en 15 minutos. Si sigue al mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?
e) Por tres horas de trabajo, Pedro ha cobrado 60 euros. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
f) En una fábrica usan 8 litros de leche por cada 5 kilos de harina para hacer una masa. ¿Cuántos litros de leche tendrán que poner si tienen 12 kilos de harina?
g) En un plano 4 cm representan 10 m de la realidad. ¿Qué longitud real son 10 cm del plano? Si una longitud real es de 25 m, ¿cuántos cm medirá en el plano?
h) Para recorrer 3,2 metros, María necesita dar 4 pasos. ¿Qué longitud recorre en 30 pasos? Para recorrer 1600 m, ¿cuántos pasos tiene que dar?
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Ejercicio 3: Resuelve con la regla de 3 inversa
a) Siete obreros tardan 9 horas en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 3 obreros?
b) Cinco alumnos, que trabajan al mismo ritmo, tardan 8 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarán 4 alumnos?
c) Un tren recorre un trayecto a 200 km/h en 3 horas. ¿Cuánto tardaría si la velocidad fuera de 100 km/h?
d) Nueve trabajadores cargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán seis trabajadores?
e) Un ganadero tiene pienso para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
f) En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se tardan 6 días en servir un pedido. ¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias?
g) Para pintar todas las paredes de un edificio se contrata a 10 personas que tardan 12 días en hacer el trabajo. ¿Cuánto tardarían si fueran 5 personas más? ¿A cuántas personas se debe contratar para terminar el trabajo en 5 días?
h) Para hacer un regalo se han pedido 20 euros a 15 personas. ¿Cuánto dinero tendrían que poner si fueran 5 personas menos? Si fueran 12 personas, ¿cuánto tendría que poner cada uno?
i) Un grupo de 12 alpinistas han preparado un viaje y han llevado comida para 20 días. ¿Cuántos días le durará la comida si al final sólo van 10? Si la comida les durase 8 días, ¿cuántos alpinistas pueden ir al viaje?
Ejercicio 4: Resuelve
a) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán con la ayuda de dos obreros más?
b) Tres kilos de carne cuestan 6 euros. ¿Cuánto podré comprar con 4,50 euros?
c) Una moto va a 50 km/h y tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h?
d) Por 5 días de trabajo Juan ha ganado 390 euros. ¿Cuánto ganará por 18 días?
e) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media?
f) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar una cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará otro camión que puede cargar 5 toneladas?
g) En un restaurante, cuatro platos especiales cuestan 26 euros. ¿Cuántos platos especiales podemos pedir si tenemos 45,50 euros?
h) Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si mueren 5 vacas?
i) Un coche consume 7,2 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos litros consume en un viaje de 250 km? Si al coche le quedan 50,4 litros, ¿cuántos kilómetros puede recorrer?
j) Un edificio es construido por una cuadrilla de 15 albañiles en 200 días. ¿Cuántos albañiles tendré que añadir a la cuadrilla para poder terminar el trabajo en 150 días?
3. Proporcionalidad compuesta
Proporcionalidad compuesta directa
Proporcionalidad compuesta inversa
Ejercicio 5: Resuelve
a) Cuatro agricultores recolectan 10 000 Kg de cerezas en 9 días. ¿Cuántos Kilos recolectarán seis agricultores en 15 días?
b) Una compañía dispone de 5 máquinas de refresco que llenan 280 botellas que se venden por un total de 400 euros. Si la compañía compra 3 nuevas máquinas embotelladoras para ganar un total de 550 euros, ¿cuántas botellas deben llenar con todas las máquinas trabajando?
c) Un atleta corrió 2 horas diarias durante 30 días y adelgazó 5 kilos. Si corriera solamente 20 días, pero lo hiciera por 3 horas, ¿cuántos kilos perdería?
d) Ocho personas pueden acampar por 4 días por 322 euros. ¿Cuánto costará el camping para 6 personas durante 8 días?
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Ejercicio 6: Resuelve
a) Cinco trabajadores tardan 16 días en construir una pequeña caseta trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos trabajadores serán necesarios para construir dicha caseta en 10 días si trabajan 8 horas diarias?
b) Un grupo de 3 amigos quieren regalar un collage con fotos a una amiga y trabajan durante 5 días 2 horas diarias, ¿cuánto días tardarían en hacer el collage si participan los 5 amigos que van a hacerle el regalo durante 3 horas al día?
c) Un equipo de 8 programadores trabajará 6 horas diarias para desarrollar un software en un año. Si se forma un equipo de 10 programadores trabajando 4 horas diarias, ¿cuántos años se necesitan para realizar un proyecto de la misma envergadura?
d) Para construir una casa en 183 días, un arquitecto estimó que serían necesarios 16 obreros trabajando 10 horas al día. Sin embargo, limitado por el presupuesto, se decidió por contratar solamente a 8 obreros trabajando 6 horas diarias. ¿Cuánto tiempo durará la construcción?
e) Un grupo de 6 pintores pintan un mural trabajando 3 horas diarias durante 10 días, ¿cuántos días necesitarán 10 pintores trabajando 6 horas diarias para hacer el mismo trabajo?
4. Repartos
Repartos directos
Repartos inversos
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Ejercicio 8: Resuelve
a) En una campaña de recogida de pilas para reciclar, Yolanda lleva 7 pilas, Miriam 11 y Juan 12. Si como premio ganan 60 bolígrafos, ¿cómo se los repartirán?
b) Un padre reparte 700 euros en partes directamente proporcionales a las edades de sus hijos: Miguel de 8 años, Fátima de 12 años y Lucía de 15 años. ¿Cuánto recibe cada hijo?
c) Tres amigos recibe 450 euros por hacer de canguro. Rafa trabajó 3 días, Marina 5 días y Alfredo 7 días. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
d) Dos socios montan una empresa. El socio A puso 2 millones de euros y el socio B puso 5 millones. Al año han obtenido 28000 euros de beneficio. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
e) Entre cuatro personas compran un solar que mide 10000 metros cuadrados. Inés pagó 25000 euros, Clara 40000, Alfonso 60000 y Carlos 75000 euros. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno?
e) Entre cuatro personas compran un solar que mide 10000 metros cuadrados. Inés pagó 25000 euros, Clara 40000, Alfonso 60000 y Carlos 75000 euros. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno?
f) Una localidad tiene 3 institutos. El instituto A tiene matriculados 520 alumnos, el B 360 alumnos y el C 140 alumnos. Para su funcionamiento se deben repartir 124440 euros en partes directamente proporcionales al número de alumnos matriculados, ¿cuánto recibe cada instituto?
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Ejercicio 9: Resuelve
a) Se quiere repartir un premio de 1860 euros a los tres mejores corredores de una carrera de manera inversamente proporcional a los tiempos que han invertido en completar el recorrido. El primer corredor tardó 24 minutos, el segundo 28 minutos y el tercero 30. ¿Cuánto dinero recibe cada uno?
b) Se decide construir una estación de esquí en una zona de los Pirineos. El coste es de un millón setecientos mil euros y se acuerda que lo deben pagar las tres localidades que la van a explotar turísticamente de manera inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentran de la estación. La localidad más cercana se encuentra a 6 km. La segunda localidad se encuentra a 8 km y la localidad más lejana está a 16 km. ¿Cuánto dinero debe aportar cada localidad?
c) Durante la lectura de un testamento, el abogado del señor Rodríguez leyó el siguiente párrafo sobre la herencia que quería dejarle a sus hijos: “… A mis hijos: Hugo, Paco y Luis, les quiero repartir la cantidad de 5900€. El reparto deberá hacerse de forma que reciban una cantidad inversamente proporcional a la edad que tengan al momento de mi fallecimiento…” Si las edades de Hugo, Paco y Luis son 20, 24 y 32 años, respectivamente. ¿Cuánto deberá recibir cada uno?
d) En una carrera ciclista contra el reloj se reparten 62 puntos entre los competidores que ocupen los 3 primeros puestos de tal manera que recibirá más puntos quien menos tiempo demore en hacer el recorrido. ¿Cuántos puntos corresponden a los tres primeros corredores si los tiempos invertidos fueron 2, 3 y 5 minutos, respectivamente?
e) El señor Guzman dejó al morir una herencia de 45.000.000€ para repartir entre sus tres hijos en partes inversamente proporcionales a sus edades. Si el menor de ellos tiene 5 años, el otro 9 y el mayor tiene 15 años. ¿Cuánto dinero le correspondió a cada hijo?
f) Un Comerciante ha repartido en fin de año una gratificación de 5000€ entre sus empleados de manera inversamente proporcional a su salario. El primero gana 1400€, el segundo gana 1100€ y el tercero gana 980€. ¿Qué dinero extra recibirá cada uno?
5. Porcentajes
Un porcentaje es una parte de una cantidad y puede expresarse como una fracción.
Cálculo de porcentajes
Problemas con porcentajes
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Ejercicio 10: Resuelve
a) En un pueblo viven 300 habitantes. En verano la población aumenta un 65%, ¿cuánta gente hay en el pueblo en verano?
b) La hipoteca de Juan aumenta un 7% cada año. Si este año paga 548 euros de hipoteca, ¿cuánto tendrá que pagar el año que viene?
c) Un móvil cuesta 300 euros más IVA. ¿Cuánto debo pagar por el móvil?
d)¿Cuánto me costará un abrigo de 360 euros si me hacen una rebaja del 20%?
e) Una tienda pone en oferta un televisor de 900 euros con una rebaja del 15%. ¿Cuánto cuesta el televisor?
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Ejercicio 11: Resuelve
a) Una bicicleta de montaña cuesta 453€ con un descuento del 45%, ¿cuál es el precio de la bicicleta sin descuento?
b) Una entrada de cine cuesta 4€ los jueves porque tiene un descuento del 30%. ¿Cuál es el precio si voy otro día al cine?
c) Un móvil cuesta 367€ con IVA incluido, ¿cuál es el precio sin IVA?
d) En una tienda tienen un cartel que pone “Día sin IVA: compra lo que quieras y te devolvemos el IVA”. Si un televisor cuesta 783€ con IVA incluido, ¿cuánto voy a pagar por él sin IVA? ¿Cuánto dinero me tienen que devolver en la tienda?
Ejercicio 12: Resuelve
a) Ramón ganaba 1200€ hace dos años. El año pasado le aumentaron un 2% y este año ha tenido otro aumento del 1%. ¿Cuánto gana este año al mes?
b) En las primeras rebajas una chaqueta de 89€ tenía un descuento del 25%. Ahora, en las segundas rebajas le han hecho otro descuento del 35%, ¿cuánto cuesta la chaqueta?
c) Antonio compra un libro de 20€ que tiene una rebaja del 15% más un 4% de IVA. ¿Cuánto tiene que pagar por el libro?
d) Una mochila cuesta 12€. La dependienta me rebaja un 15% por ser cliente habitual y al pagar me cobra un 21% de IVA. ¿Cuánto vale la mochila?
e) El valor de una acción es de 15€. El lunes sube un 3%, el martes baja un 7% y el miércoles sube un 10%. ¿Cuál es el valor de la acción el jueves?
f) He comprado directamente a la fábrica placas solares para calentar el agua. Su precio está marcado en 3.850 €. Como compro directamente en la fábrica me rebajan el 40 %, y cuando ya tengo el precio rebajado al hacerme la factura tengo que pagar el 18 % de IVA. ¿Cuánto me cuestan al final las placas solares?
6. Interés
El interés compuesto también es un porcentaje que se aplica a una cantidad que se da en préstamo o que se deposita en un banco.
En este caso los intereses se acumulan a la cantidad cada vez que se termina el periodo estipulado, es decir, si el depósito es a 4 años, cada año que pasa se acumulan los intereses sobre la cantidad que haya en la cuenta.
Cf = cantidad final, Ci = cantidad inicial, r = interés, t = años
Ejemplo: Calcula cuánto dinero habrá en el banco si se depositan 1200€ a un interés compuesto del 3% durante 5 años.
Cf= 1200 · (1 + (3 / 100))⁵ = 1391,13€
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Ejercicio 13: Resuelve
a) Raquel deposita su dinero en un fondo a interés compuesto a un rédito del 3% anual. Si al finalizar el tercer año Raquel tiene 5135,82€, ¿con qué cantidad abrió la cuenta? ¿Cuál es el beneficio obtenido?
b) Halla el interés obtenido al invertir 500€ a interés compuesto durante 5 años con un rédito del 3%.
c) Calcula el interés obtenido al invertir 2000€, a interés compuesto durante 10 años, con un rédito del 2,75%.
d) Una cantidad de dinero se invierte durante 3 años al 5% anual, con un interés compuesto. Si el beneficio obtenido es de 1576,25€, ¿qué cantidad se invierte?
e) Fernando invierte 1000€ a interés compuesto, durante 5 años con un rédito del 2%. Esther hace lo mismo pero a inteŕes simple. ¿Cuál de los dos obtiene mayor beneficio?