Las operaciones básicas que conocemos, la suma, la resta, la multiplicación y la división verifican algunas propiedades.
Propiedad conmutativa
Algunas de nuestras actividades cotidianas no tienen un orden preestablecido. Por ejemplo, para hacer un café con leche primero puedo poner en la taza el café o la leche. El resultado va a ser el mismo, café con leche. Con la suma y la multiplicación pasa lo mismo.
Actividad 1: Completa la tabla
| 7 + 5 = | 5 + 7 = |
| 8 · 2 = | 2 · 8 = |
| 9 + 23 = | 23 · 9 = |
| 45 · 12 = | 12 · 45 = |
Actividad 2: Recuerda, que la suma sea conmutativa significa que es lo mismo sumar 2 + 3 que 3 + 2, se obtiene el mismo resultado. Lo mismo pasa con la multiplicación. Por tanto, teniendo en cuenta los resultados de la tabla anterior: ¿es la suma conmutativa? ¿Y la multiplicación?
¿Verifican la propiedad conmutativa la resta y división?
Actividad 3: Completa la tabla.
| 7 – 5 = | 5 – 7 = |
| 8 : 2 = | 2 : 8 = |
| 9 – 23 = | 23 – 9 = |
| 45 : 5 = | 5 : 45 = |
Actividad 4: ¿Es la resta conmutativa? ¿Y la división?
Generalizar en matemáticas significa escribir una expresión que se verifique para cualquier número.
Para expresar un número cualquiera utilizamos letras, por ejemplo, la letra a expresa un número cualquiera.
Entonces podemos expresar la propiedad conmutativa para la suma de forma generalizada como:
a + b = b + a
donde a y b son dos números cualesquiera.
Actividad 5: Expresa de forma generalizada la propiedad conmutativa para la multiplicación.
Propiedad asociativa
Si tengo tres o más números los puedo sumar o multiplicar agrupando los números de diferentes maneras
Actividad 6: Completa la tabla.
| 7 + 5 + 3 = | 7 + (5 + 3) = | (7 + 5) + 3 = |
| 7 · 5 · 3 = | 7 · (5 · 3) = | (7 · 5) · 3 = |
Actividad 7: ¿Verifican la propiedad asociativa la suma y la multiplicación?.
¿Verifican la propiedad asociativa la resta y división?
Actividad 8: Completa la tabla.
| 7 – 2 – 3 = | 7 – (2 – 3) = | (7 – 2) – 3 = |
| 24 : 2 : 3 = | 24 : (2 : 3) = | (24 : 2) : 3 = |
Actividad 9: ¿Verifican la propiedad asociativa la resta y la división?
Actividad 10: Expresa de forma generalizada la propiedad asociativa para la suma y la multiplicación.
Propiedad distributiva
La suma y la multiplicación se combinan con la propiedad distributiva. También lo hacen la resta y la multiplicación.
Actividad 11: Observa cómo funciona la propiedad distributiva completando la tabla. Realiza las operaciones respetando la jerarquía.
| 7 · (5 + 3) = | 7 · 5 + 7 · 3 = |
| 2 · (7 – 5) = | 2 · 7 – 2 · 5 = |
Un número delante de un paréntesis multiplica a todo lo que hay dentro del paréntesis.
¿Verifican la propiedad distributiva la división y la suma o la resta?
Actividad 12: Completa la tabla
| 12 : (4 + 2) = | 12 : 4 + 12 : 2 = |
| 36 : (12 – 3) = | 36 : 12 – 36 : 3 = |
Actividad 13: ¿Verifican la propiedad distributiva la división con la suma o la resta?
Actividad 14: Expresa de forma generalizada la propiedad asociativa para la multiplicación con la suma y la resta.
Elemento neutro
El elemento neutro de una operación es un número que cuando lo operamos a un segundo número obtenemos por resultado el segundo número.
Actividad 15: Completa la tabla
| 7 + 0 = | 7 · 0 = |
| 5 – 0= | 5 : 0 = |
| 7 + 1 = | 7 · 1 = |
| 5 – 1= | 5 : 1 = |
Actividad 16: ¿Cuál es el elemento neutro de la suma? ¿Y el de la multiplicación?
Actividad 17: ¿Cuál es el elemento neutro de la resta? ¿Y el de la división?
Actividad 18: Expresa de forma generalizada el elemento neutro para las cuatro operaciones básicas.
Inverso aditivo
El inverso aditivo de un número es aquel que cuando se suma o se resta con otro se obtiene el elemento neutro.
Actividad 19: Completa la tabla
| 7 + (-7) = | -3 + 3= |
| 5 + (-5)= | -5 + 5 = |
Actividad 20: ¿Qué otro nombre recibe el inverso aditivo?