1. Puntos en el plano
2. Diferentes formas de expresar una función
3. Características de las funciones
3.1. Dominio
3.2. Puntos de corte con los ejes
3.3. Continuidad
3.4. Crecimiento y decrecimiento
3.5. Máximos y mínimos
4. Función lineal
5. Función cuadrática
1. Puntos en el plano
Un sistema de ejes coordenados (o cartesianos) está formado por dos rectas numéricas (ejes cartesianos) perpendiculares que se cortan en un punto y dividen al plano en cuatro partes iguales.
El punto de corte recibe el nombre de origen de coordenadas. A la derecha del origen están los números positivos. Hacia arriba desde este punto también están los números positivos. A la izquierda del origen y hacia abajo están los números negativos.
El eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas o eje x.
El eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas o eje y.
Coordenadas de un punto
Cualquier punto del plano puede identificarse con dos números: el primero hace referencia al eje x y el segundo, al eje y. Estos dos números se llaman las coordenadas del punto.
Los puntos sobre el eje x son de la forma (a, 0) donde a es el número sobre el eje x.
Los puntos sobre el eje y son de la forma (0, b) donde b es el número sobre el eje y.
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Ejercicio 1: Escribe las coordenadas de los siguientes puntos.
Ejercicio 2: Escribe las coordenadas de los siguientes puntos
Ejercicio 3: Ubica en el plano los siguientes puntos.
A = (5, 0) B = (3, 2) C = (2, 5) D = (0, 4) E = (-2, 2) F= (-4, 3) G = (-6, 0) H = (-4, -1) I = (-1, -2) J = (0, -4) K = (2, -1) L = (4, -2)
SOLUCIONES
2. Diferentes formas de expresar una función
Una función representa una relación entre dos variables, x e y. En esta relación x es la variable independiente e y es la dependiente (su valor depende de los valores que tome x). La relación funcional asigna a cada valor de x un único valor de y.
Las funciones pueden representarse de 4 maneras distintas
Con una definición: “A cada número le corresponde su doble más uno”
Con una fórmula: y = f(x) = 2 x + 1
Con una tabla:
Con una gráfica:
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Ejercicio 4: En la siguiente tabla se han recogido la cantidad de litros de leche que da una vaca durante los siete primeros días.
a) Indica quién es la variable independiente y dependiente.
b) Representa la tabla.
| Día | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Litros | 38 | 41 | 37 | 41 | 40 | 37 | 38 |
Ejercicio 5: Un coche circula por una autopista a 120km/h. Esto significa que en una hora recorre 120 km.
a) Escribe la función que relaciona el espacio recorrido en función del tiempo.
b) Realiza una tabla.
c) Representa la función.
d) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en dos horas y media?
Ejercicio 6: Realiza una tabla de valores para la siguiente función
f(x) = 2x – 1. Represéntala.
Ejercicio 7: Observa las siguientes funciones dadas por gráficas.
a) ¿Qué significan las flechas que aparecen en las gráficas?
b) Indica qué valores toma la función en el eje x en ambos casos.
c) ¿Qué valor toma la función en el eje y cuando x = 0 en ambos casos?
d) ¿Para qué valor de x la función toma el valor y = 2?
e) ¿Para qué valor de x la función toma el valor y = -3?
SOLUCIONES
3. Características de las funciones
3.1. Dominio
Dominio de una función: Valores que toma la función en el eje x.
Ejemplos
3.2. Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con los ejes: puntos del plano donde la gráfica corta al eje x e y.
Ejemplos
3.3. Continuidad
Una función es continua cuando su gráfica no presenta saltos, es decir, su dominio es un único intervalo.
Los puntos de discontinuidad son los puntos del dominio, del eje x, dónde la función presenta un salto (un hueco).
Ejemplos
3.4. Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento: Una función es creciente en un intervalo (a, b) si f(a) < f(b), es decir, si la gráfica de la función en ese intervalo va hacia arriba.
Decrecimiento: Una función es decreciente en un intervalo (a, b) si f(a) > f(b), es decir, si la gráfica de la función en ese intervalo va hacia abajo.
Ejemplos
3.5. Máximos y mínimos
x = a es un máximo de la función f si el valor f(a) es mayor que todos los valores de la función en un entorno. Es decir, a izquierda del punto a la función crece y a derecha decrece.
x = a es un mínimo de la función f si el valor f(a) es menor que todos los valores de la función en un entorno. Es decir, a izquierda del punto a la función decrece y a derecha crece.
Ejemplos
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Ejercicio 8: Estudia las características de la siguientes funciones
SOLUCIONES
4. Funciones lineales
Las funciones lineales se representan con una recta y su fórmula general es
y = f(x) = m x + n
donde m recibe el nombre de pendiente y n, ordenada al origen.
Características de las funciones lineales
Su dominio son todos los números reales: (-
, +)
Si m>0 es siempre creciente
Si m<0 es siempre decreciente
Puntos de corte con el eje y: n
Puntos de corte con el eje x: -n / m
Casos particulares:
si n = 0, la función lineal pasa por el (0,0) y recibe el nombre de función de proporcionalidad directa.
si m = 0, la función lineal es una línea horizontal y recibe el nombre de función constante.
Ejemplos
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Ejercicio 9: Dibuja las siguientes rectas indicando sus elementos y explicando su significado.
a) f(x) = 2 x – 3
b) f(x) = -x + 1
c) f(x) = 2x
c) f(x) = 1
Ejercicio 10: Un bocadillo en la cantina cuesta 2€.
a) Escribe la expresión de la función precio de los bocadillos.
b) Dibuja la función
Ejercicio 11: Calcula la expresión de las siguientes funciones dadas por gráficas.
Ejercicio 12: Calcula la expresión de las siguientes funciones lineales
a) Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (1,-1).
b) Tiene pendiente 3 y ordenada al origen 8.
c) Corta al eje x en 3 y al eje y en 1.
d) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (1,1).
e) Tiene pendiente -1 y ordenada al origen 5.
c) Corta al eje x en 1 y al eje y en -2.
5. Funciones cuadráticas
Su expresión es de la forma f(x)= a x² + b x + c
Su gráfica es una parábola.
Elementos de una parábola: vértice y puntos de corte con los ejes.
Ejemplo
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Ejercicio 12: Dibuja las siguientes parábolas.
a) f(x) = x² + x – 2
b) f(x) = 3x² – 9x + 6
c) f(x) = x² – 2x – 3
c) f(x) = 2x² – 2