Unidad 1: Números reales

4ºESO Académicas

LUNES	MARTES	MIÉRCOLES	JUEVES

Índice

Intervalos
Operaciones con intervalos
Potencias de exponente entero
Propiedades de las potencias
Radicales
Potencias de exponente fraccionario
Operaciones con radicales
Logaritmos

Calendario

1. Intervalos

Tipos de intervalos

Semirrectas

Son intervalos que en uno de sus extremos tiene al infinito.

Ejercicio 1: Representa los siguientes intervalos, escribe la notación matemática de cada uno e indica dos números que pertenezcan al intervalo y dos que no.

a) (4,8)

b) [1,5)

c) (-3,0]

d) [1,3]

e) [-1,2)

f) (7,8]

g) (-1,1)

h) [0,3]

i) (0,0.1)

Ejercicio 2: Representa las siguientes semirrectas y escribe la notación matemática de cada uno

a) (1, +∞)

b) [3, +∞)

c) (-4, +∞)

d) (-∞, 0)

e) (-∞, 4)

f) (-∞, -1)

Ejercicio 3: Escribe en forma de intervalos o semirrectas

a) -3 ≤ x < 1

b) 2 < x < 4

c) -4 ≤ x ≤ -1

d) x ≤ 3

e) x > -4

f) x ≥ -1

g) 0 ≤ x < 3

h) x < 1

i) x ≥ 0

Comprueba tus soluciones

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Calendario

2. Operaciones con intervalos

Unión

La unión de los intervalos A y B, AUB, es el conjunto formado por todos los números de los intervalos A y B.

Se trata siempre de un conjunto mayor a los dados.

La unión puede dar como solución un intervalo o varios intervalos.

Intersección

La intersección de los intervalos A y B, A⋂B, es el conjunto formado por todos los números que están tanto en A como en B.

Se trata de un conjunto siempre más pequeño a los dados.

La intersección puede dar como solución un intervalo, un número o el conjunto vacío ∅ (cuando no hay elementos comunes a A y a B).

Ejercicio 4: Realiza la intersección y unión de los siguientes intervalos

a) A = [-3,5], B = (-3, +∞)

b) A = (-∞,-4], B = [-4, 2)

c) A = (-∞,2], B = (2, 4]

d) A = (-5,1], B = [0, 2]

e) A = (-1,5), B = [1, 2]

f) A = [2,4], B = (3, 5)

g) A = (-3,0], B = (-1, 4)

Ejercicio 5: Dados los intervalos A = (-∞, 3], B = (-2, 0], C = [2, 5) calcula

a) A ∪ B

b) A ∪ B ∪ C

c) A ∩ B

d) A ∩ B ∩ C

Ejercicio 6: Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

a) (-2, 3) ∩ [-1, 4) = [-1,4)

b) (-2, 3) ∪ (-1, 4) = [-2, 3]

c) [-2, 3] ∩ (-1, 4] = [-1, 3]

d) [-2, 3) ∪ (-1, 4) = [-2, 4)

Comprueba tus soluciones

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Calendario

3. Potencias de exponente entero

Las potencias están relacionadas con la multiplicación. En el caso de los números negativos, si la potencia es par el resultado es positivo y si es impar el resultado en negativo.

(-2)² = +2² = +4 (-2)³ = – 2³ = -8

(-2)² = (-2)·(-2)=+4 (-2)³ = (-2)·(-2)·(-2)= -8

Ejercicio 8: Calcula las siguientes potencias

SOLUCIONES

Calendario

4. Propiedades de las potencias

Tienen la misma base y se están multiplicando: se suman los exponentes y se tienen en cuenta los signos
- (-3)² · (-3)⁵ = (-3)⁷ = -3⁷

Tienen la misma base y se están dividiendo: se restan los exponentes y se tienen en cuenta los signos
- (-3)⁹ : (-3)⁵ = (-3)⁴ = 3⁴

Una potencia elevada a otra potencia: se multiplican los exponentes y se tienen en cuenta los signos
- ((-4)³)² = (-4)⁶ = 4⁶

Un número elevado a cero siempre es 1:
- (-4)⁰ = 1

Si tienen el mismo exponente se calcula la multiplicación o división y se deja el mismo exponente. Se tienen en cuenta los signos:
- (-2)³ · 4³ = (-8)³ = – 8³
- 12⁴ : (-6)⁴ = (-2)⁴ = 2⁴

Ejercicio 9: Simplifica las siguientes expresiones

SOLUCIONES

Calendario

5. Radicales

La raíz cuadrada de números enteros tienen dos soluciones: una positiva y otra negativa.

Existen otras raíces además de la raíz cuadrada: cúbica, cuarta, quinta, …, enésima

b es la raíz enésima de un número a si aⁿ = b

El índice nos indica la potencia a la que tenemos que elevar el radicando para obtener la raíz.

Todas se calculan igual que la cuadrada, encontrar un número que al elevarlo al índice de la raíz me dé el radicando.

Importante:

Si n es par y el radicando negativo, no hay solución
Si n es impar y el radicando negativo, la solución es un número negativo.
Si n es impar y el radicando positivo, la solución es un número positivo.
Si n es par y el radicando positivo hay dos soluciones, una negativa y otra positiva.

Ejemplos:

Ejercicio 10: Calcula

SOLUCIONES

Calendario

6. Potencias de exponente fraccionario

La potencia también puede tener una fracción como exponente. Este exponente fraccionario relaciona la potencia con los radicales:

Ejercicio 11:Transforma en forma de potencia o radical

SOLUCIONES

Calendario

7. Operaciones con radicales

Índice común

Se trata de expresar los radicales con el mismo índice.

Factorización de raíces

Cuando el radical no tiene una raíz exacta se puede simplificar

Suma y resta de radicales

Solo se pueden sumar y restar radicales con el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo:

Multiplicación, división y potencia

Se expresan los radicales como exponentes y se aplican las propiedades de las potencias.

Racionalización

Se trata de sacar los radicales del denominador. Para ello se multiplica arriba y abajo por una raíz que haga que el índice de la raíz coincida con la potencia del radicando.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejercicio 12: Reduce a índice común los siguientes radicales

SOLUCIONES

Ejercicio 13: Factoriza los siguientes radicales

SOLUCIONES

Ejercicio 14: Extrae factores de los siguientes radicales

SOLUCIONES

Ejercicio 15: Calcula

SOLUCIONES

Ejercicio 16: Calcula

SOLUCIONES

Ejercicio 17: Calcula

SOLUCIONES

Ejercicio 18: Racionaliza

SOLUCIONES

Ejercicio 19: Racionaliza

SOLUCIONES

Calendario

8. Logaritmos

Propiedades de los logaritmos

Cambio de base

En la calculadora solo podemos calcular logaritmos en base 10. Cuando no podemos aplicar la definición de logaritmo para que nos dé un exponente entero podemos cambiar la base.