Unidad 3: Ecuaciones

4ºESO Académicas

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Índice

Conocimientos previos: Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones bicuadradas
Ecuaciones de grado mayor o igual que 3
Problemas
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones radicales
Ecuaciones racionales

Calendario

1. Conocimientos previos: Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad entre expresiones algebraicas de grado 1. Una solución de una ecuación es un número que hace que la igualdad sea cierta. Las ecuaciones de primer grado pueden tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.

Ejemplo 1: Una única solución	2 x + 3 = x – 1 2 x – x = -1 – 3 1 x = -4 x = -4/1 x = -4
Ejemplo 2: Ninguna solución	3 x + 1 = 3 + 3 x 3 x – 3 x = 3 – 1 0 x = 2
Ejemplo 3: Infinitas soluciones	x + 4 = 2 x – x + 4 x – 2 x + x = 4 – 4 0 x = 0

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones

12 – 4 x = 2 x + 3
25 + 6 x = 5 + x
5 + 6 x – 1 – 3 x = 4 + 3 x
2 (x + 3) = 1
3 (2 x + 5) = 4 x – 9
16 x – 8 (2 x – 1 ) = 7 – x
2 (x – 1) – 6 (x + 1) = 3 x – 21
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SOLUCIONES

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2. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado tiene como expresión un polinomio de grado 2.

Ejemplos: 4x² + 3 x – 8 = 0 x² = 6

Las ecuaciones de segundo grado pueden tener una solución, dos soluciones o ninguna solución.

Tipos de ecuaciones de segundo grado

Completas: están formadas por tres monomios, uno de grado 2, otro de grado 1 y uno de grado 0.

Ejemplo: 4x² + 3 x – 8 = 0 x² – 1 = 3x

Incompletas: en la ecuación falta el monomio de grado 1 o el de grado 0.

Ejemplo: 3 x² + x = 0 x² = 1

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Utilizamos el factor común o simplemente calculamos una raíz cuadrada

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Utilizamos una fórmula para resolver la ecuación

Ejercicio 2: Resuelve

-6 x² – x + 1 = 0
9 x² – 49 x = 0
x² – 81 = 0
4 x² + 3 x – 7 = 0
9 x² – 6 x + 1 = 0
– 2 x² – 3 x + 2 = 0
x² + 2 x + 1 = 0
2 x² + x + 15 = 0

SOLUCIONES

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3. Ecuaciones bicuadradas

Es una ecuación de cuarto grado formada por tres monomios: uno de grado 4, otro de grado 2 y uno de grado 0.

Ejemplo: 3 x⁴ + x² – 1 = 0

Para resolverla utilizaremos un cambio de variable y transformaremos la ecuación de grado 4 en una de grado 2.

Ejemplo:

Ejercicio 3: Resuelve

x⁴ – 3 x² – 4 = 0
x⁴ – 20 x² + 64 = 0
x⁴ + 16 = 17 x²
x⁴ – 26 x² + 25 = 0
25 x² – 144 = x⁴
x⁴ – 40 x² + 144 = 0
x⁴ + 9 = 10 x²
x⁴ – 29 x² + 100 = 0

SOLUCIONES

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4. Ecuaciones de grado mayor o igual que 3

Para resolverlas utilizamos Ruffini.

Ejercicio 4: Resuelve

x⁴ – 5 x³ + 5 x² + 5 x – 6 = 0
x⁴ – x³ – 7 x² + x + 6 = 0
x⁴ + 5 x³ + 5 x² – 5 x – 6 = 0
x⁴ + 2 x³ – 16 x² – 2 x + 15 = 0
x⁴ + x³ – 19 x² + 11 x + 30 =0

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5. Problemas

Ejercicio 5: Resuelve

Un número más su doble es igual a 21, ¿cuál es ese número?
Un número menos su triple es igual a -8, ¿cuál es ese número?
La suma de dos números consecutivos es 27, ¿cuáles son esos números?
Las tres cuartas partes de un número menos su mitad es igual a 3. ¿Cuál es el número?
Un padre tiene 27 años más que su hijo. Entre los dos suman 49. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Andrés tiene dos años más que Ana y Patricia tiene el doble de años que Ana. Si entre los tres suman 42, ¿cuál es la edad de cada uno?
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 61. ¿Cuáles son esos números?
La suma de un número y su cuadrado es 20. Halla dicho número.
Paco tiene dos años más que Juan y la suma de los cuadrados de ambas edades es 2314 años. Halla las edades de cada uno.
El cubo de un número menos el doble del cuadrado menos su quíntuple es igual a -6, ¿cuál es ese número?

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6. Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales tienen las incógnitas en los exponentes.

Para resolverlas debemos expresar las potencias con la misma base y luego igualar exponentes.

Ejemplo:

Ejercicio 6: Resuelve

SOLUCIONES

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7. Ecuaciones radicales

El primer paso en la resolución es dejar la raíz sola en uno de los lados de la igualdad. Luego, la raíz pasa al otro miembro como potencia cuadrada y se resuelve la ecuación.

Ejemplo:

Ejercicio 7: Resuelve

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SOLUCIONES

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8. Ecuaciones racionales

Para resolverlas seguimos las mismas reglas que en la resolución de ecuaciones de primer grado con denominadores. Calculamos primero el mcm de los denominadores y transformamos la ecuación en una equivalente con los mismos denominadores.

Ejemplo:

Ejercicio 8: Resuelve

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