4ºESO Académicas
Unidad 8: Funciones elementales
| LUNES | MARTES | MIÉRCOLES | JUEVES |
|---|---|---|---|
Índice
- CP: Diferentes formas de expresar una función
- CP: Características de las funciones
- Funciones lineales
- Funciones cuadráticas
- Funciones racionales
- Funciones radicales
- Funciones exponenciales
- Funciones logarítmicas
1. Dferentes formas de expresar una función
Una función representa una relación entre dos variables, x e y. En esta relación x es la variable independiente e y es la dependiente (su valor depende de los valores que tome x). La relación funcional asigna a cada valor de x un único valor de y.
Las funciones pueden representarse de 4 maneras distintas
Con una definición: «A cada número le corresponde su doble más uno»
Con una fórmula: y = f(x) = 2 x + 1
Con una tabla:
Con una gráfica:
Actividades
Ejercicio 1: Un coche circula por una calle a 30 km/h. Esto significa que en una hora recorre 30 km.
a) Escribe la función que relaciona el espacio recorrido en función del tiempo.
b) Realiza una tabla.
c) Representa la función.
d) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en dos horas y media?
Ejercicio 2: Observa la función 1 dada por la gráfica.
a) ¿Qué significa la flecha?
b) ¿Qué valor toma la función en el eje y cuando x = 0?
c) ¿Qué valor toma la función en el eje y cuando x = 3?
d) ¿Para qué valor de x la función toma el valor y = 0?
e) ¿Para qué valor de x la función toma el valor y = -3?
Ejercicio 3: El precio de un menú diario en un bar es de 8 euros.
a) Crea una tabla indicando el precio de 1, 2, 5 y 8 menús.
b) Indica quién es la variable independiente y dependiente.
c) Representa la tabla.
d) ¿Cuántas personas hemos ido a comer al bar si la cuenta fue de 48€ ?
Ejercicio 4: Observa la función dada por la gráfica.
a) ¿Qué significan las flechas?
b) ¿Qué valor toma la función en el eje y cuando x = 0?
c) ¿Qué valor toma la función en el eje y cuando x = 3?
d) ¿Para qué valor de x la función toma el valor y = 0?
e) ¿Para qué valor de x la función toma el valor y = -2?
SOLUCIONES
2. Características de las funciones
2.1 Dominio e Imagen
Dominio de una función: Valores que toma la función en el eje x.
Imagen de una función: Valores que toma la función en el eje y.
Ejemplos: Calcula el dominio y la imagen de las siguientes funciones
2.2 Puntos de corte
Puntos de corte con los ejes: puntos del plano donde la gráfica corta al eje x e y.
Valores específicos de una función: f(3) = 4 significa que la gráfica pasa por el punto (3,4)
Ejemplo:
2.3 Continuidad
Una función es continua cuando su gráfica no presenta saltos, es decir, su dominio es un único intervalo.
Los puntos de discontinuidad son los puntos del dominio, del eje x, dónde la función presenta un salto (un hueco).
Ejemplo:
Actividades
2.4 Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento: Una función es creciente en un intervalo (a, b) si f(a) < f(b), es decir, si la gráfica de la función en ese intervalo va hacia arriba.
Decrecimiento: Una función es decreciente en un intervalo (a, b) si f(a) > f(b), es decir, si la gráfica de la función en ese intervalo va hacia abajo.
Ejemplo:
x = a es un máximo relativo de la función f si el valor f(a) es mayor que todos los valores de la función en un entorno. Es decir, a izquierda del punto a la función crece y a derecha decrece. El máximo absoluto es el mayor máximo relativo.
x = a es un mínimo relativo de la función f si el valor f(a) es menor que todos los valores de la función en un entorno. Es decir, a izquierda del punto a la función decrece y a derecha crece. El mínimo absoluto es el menor mínimo relativo.
Ejemplo:
Máximos relativos
x = 2
x = 6
x = 14
x = 20
Máximo absoluto
x = 6
Mínimos relativos
x = 4
x = 10
x = 18
Mínimo absoluto
x = 10
2.5 Simetría
Una función es simétrica respecto al eje Y si su gráfica es simétrica con respecto a dicho eje, es decir, si el eje y funciona como un espejo para la función. Matemáticamente significa que f(a) = f(-a).
Una función es simétrica respecto al origen (0,0) si su gráfica es simétrica con respecto a dicho punto, es decir, si el punto (0,0) funciona como un espejo para la función. Matemáticamente significa que f(a) = – f(-a).
Ejemplo:
Simétrica respecto al eje y
Simétrica respecto al origen
2.6 Periodicidad
Una función es periódica si la gráfica tiene un patrón que se repite indefinidamente.
Ejemplo:
Actividades
3. Funciones lineales
Las funciones elementales son funciones cuya expresión algebraica viene dada por una fórmula y su representación gráfica se asocia con situaciones de la vida real.
Las funciones elementales que estudiaremos serán las funciones lineales, cuadráticas y racionales.
Las funciones lineales se representan con una línea recta y su expresión algebraica es un polinomio de grado 1.
La fórmula general que expresa este tipo de funciones es: f(x) = m · x + n, donde m recibe el nombre de pendiente y n, ordenada al origen.
Características de las funciones lineales
Dominio: Todos los números reales (+∞, -∞)
Crecimiento: Siempre es creciente si la pendiente m es positiva
Decrecimiento: Siempre es decreciente si la pendiente m es negativa
Punto de corte:
Corta al eje y en la ordenada al origen, n.
Corta al eje x en el punto – nm
Representación de las funciones lineales
Con los puntos de corte podemos dibujar la función.
Casos particulares
Si m = 0, la función recibe el nombre de constante y se representa como una línea horizontal que corta al eje y en n.
Si n = 0, la función recibe el nombre de función de proporcionalidad directa y pasa por el origen de coordenadas
Ejercicio 1: Completa la tabla
| Función | Dominio | Pendiente | Ordenada en origen | Creciente o decreciente | Pasa por el punto |
| f(x) = -1 | |||||
| f(x) = 2x | |||||
| f(x) = -x -1 | |||||
| f(x) = 3 | |||||
| f(x) = -x | |||||
f(x) =  |
Ejercicio 2: Representa las funciones del ejercicio 2 teniendo en cuenta sus características.
Ejercicio 3: Halla la expresión algebraica de cada una de las siguientes rectas
- Tiene pendiente 4 y pasa por el origen.
- Tiene pendiente -5 y pasa por el origen
- Tiene pendiente -1 y pasa por el punto C = (0,2)
- Tiene pendiente 2 y pasa por D=(0,-2)
- Tiene pendiente nula y pasa por E=(2, 1)
- Tiene pendiente nula y ordenada en origen -5
- Pasa por los puntos A=(-1,2) y B=(3,1)
- Pasa por los puntos F=(0,3) y G=(1,1)
SOLUCIONES
SOLUCIONES
4. Funciones cuadráticas
Su expresión es un polinomio de segundo grado y su gráfica recibe el nombre de parábola.
La fórmula general de una función cuadrática es f(x) = a x² + b x + c
Para dibujar la parábola necesitamos conocer el vértice, los puntos de corte con los ejes y dos puntos más cualesquiera.
Características de las funciones cuadráticas
Si a es positivo, entonces la parábola tiene forma de u y la función es decreciente a la izquierda del vértice y creciente a derecha. El vértice es un mínimo absoluto.
Si a es negativo, entonces la parábola tiene forma de n y la función es creciente a la izquierda del vértice y decreciente a derecha. El vértice es un máximo absoluto.
Las parábolas son simétricas respecto al eje que pasa por el vértice, es decir, que la línea imaginaria que pasa por el vértice funciona como si fuera un espejo.
Ejercicio 5: Dibuja las siguientes parábolas
- f(x) = -9x²+4
- f(x) = 2x² – 3x
- f(x) = x² + 5x + 6
- f(x) = -x² + 8x – 12
- f(x) = -x² + 3 x
- f(x) = x² – 4
Comprueba tus soluciones
5. Funciones racionales
Las funciones racionales tienen como expresión una fracción en la que el denominador es un polinomio de grado 1. La gráfica de estas funciones lleva el nombre de hipérbola.
La fórmula general de estas funciones es
k es un número cualquiera
a recibe el nombre de asíntota vertical
b recibe el nombre de asíntota horizontal
El dominio de estas funciones son todos los números reales menos la asíntota vertical.
Para dibujarlas necesitamos identificar las dos asíntotas y realizar una tabla de valores. Para la tabla debemos elegir tres números a izquierda de la asíntota vertical y tres números a derecha.
Ejercicio: Dibuja las siguientes funciones
Comprueba tus soluciones
6. Funciones radicales
Ejercicio: Dibuja las siguientes funciones
Comprueba tus soluciones
7. Funciones exponenciales
Ejercicio: Dibuja las siguientes funciones
Comprueba tus soluciones
8. Funciones logarítmicas
Ejercicio: Dibuja las siguientes funciones
